π是有理数还是无理数 人们终于证明了π是无理数(2)

π是有理数还是无理数

黄金分割数(√5-1)/2的无限连分数很有意思：

黄金分割数无限连分数

1761年，瑞士数学家兰伯特受此启发，历史上第一次给出了π是无理数的严格证明。

他首先证明了正切函数tan(x)可以表示成类似无限连分数的无限连分函数形式：

利用以上结论，兰伯特进而证明了：如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数。这个结论非常有意思，证明过程有些繁杂，这里略去不讲，有兴趣的朋友可以进一步了解一下。

特别注意：这个结论只说了“如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数”；并没有说“如果x是无理数，那么tan(x)必然是有理数”。这里一定要区分开来。

有了以上基础理论，接下来我们就可以利用反证法来证明π是无理数了。

求证：π是无理数

证明：假设π是有理数

显然π/4也是有理数，且π/4≠0

我们有结论：如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数

所以tan(π/4)是无理数

tan(π/4)=tan(45°)=1是有理数

与tan(π/4)是无理数矛盾

说明假设“π是有理数”错误

所以π是无理数

证毕！

这个证明过程简洁清晰、逻辑缜密，堪称反证法应用的经典例证，真是让人赏心悦目。

至此，人们终于严格证明了π是无理数，后来人们还采用了构造函数、微积分等多种方法证明了π是无理数。但相比而言，兰伯特给出的证明方法更加符合数学的极致美学。

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