三角形重心的性质有哪些 三角形重心的三个重要性质讲解

三角形重心的性质有哪些

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三角形重心是三角形三条中线的交点，是一个非常特殊的点，具有很多特殊的性质。有些涉及重心的问题，直接使用这些性质会事半功倍。下面简要总结一下。

1.三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

△ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线，交点为O。则AO：OD=BO：OE=CO：OF=2:1

证明：

如图，连接EF与AD交于G，由三角形中位线定理知，EF∥BC。又因E为AC中点，因此G是AD中点。

因为△EOG∽△BOD，且相似比为1：2，因此可计算出：

AG：GO：OD=3:1:2，于是AO：OD=2：1。其他同理。

这个定理在一些给出重心要求计算边长关系的问题中相当有用。

2.三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等

△ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线，交点为O。则S△AOB=S△BOC=S△COA

证明：先证S△AOB=S△BOC，其他同理。

（计算三角形面积基本上要做“高”的辅助线）

因为△AOB=△BOC同底，因此其面积比等于高长比